Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=x-1．
（1）若不等式f（x）＞bg（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m²，且|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為x²-bx+b＞0，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得△＜0，即可解出實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）先求得F（x）=x²-mx+1-m²，再對(duì)其對(duì)應(yīng)方程的判別式分△≤0和當(dāng)△＞0兩種情況，分別找到滿足|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增的實(shí)數(shù)m的取值范圍，最后綜合即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²，g（x）=x-1．
∴若不等式f（x）＞bg（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，
等價(jià)為x²-bx+b＞0恒成立，
∴△=b²-4b＜0，
解得0＜b＜4，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是（0，4）；
（2）由題設(shè)得F（x）=x²-mx+1-m²，
對(duì)稱軸方程為x=

m

2

，△=m²-4（1-m²）=5m²-4，
由于|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，則有：
 ①當(dāng)△≤0，即-

2 5

5

≤m≤

2 5

5

時(shí)，有

m 2 ≤0 - 2 5 5 ≤m≤ 2 5 5

，
解得-

2 5

5

≤m≤0，
 ②當(dāng)△＞0，即m＜-

2 5

5

或m＞

2 5

5

時(shí)，
設(shè)方程F（x）=0的根為x₁，x₂（x₁＜x₂），
若m＞

2 5

5

，則

m

2

＞

5

5

，
有

m 2 ≥1 x1＜0 F(0)=1-m2＜0

，
解得m≥2；
若m＜-

2 5

5

，即

m

2

＜-

5

5

，
有x₁＜0，x₂≤0；
得F（0）=1-m²≥0，
即-1≤m≤1，
∴-1≤m＜-

2 5

5

，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，0]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及不等式恒成立問題，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．