Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，對(duì)角線AC與BD交于O，將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成60°的二面角，并給出下面結(jié)論：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC為正三角形；④cos∠ADC=

3

4

，則其中的真命題是（　　）

A．①③④

B．①②④

C．②③④

D．①②③

Answer 1

分析：由題意，作出如圖的圖象，由正方形的性質(zhì)知，CO⊥BD，AO⊥BD，可得BD⊥面AOC，且AC=AO=CO=2

2

，AD=CD=4，可由線面垂直判斷AC⊥BD，AD⊥CO可反證確定它不成立，③可由正三角形的性質(zhì)判斷，④可由余弦定理直接求出cos∠ADC=

3

4

，由此可選出正確答案

解答：解：由題意，可作出如圖的圖象，在下圖中，由正方形的性質(zhì)知，CO⊥BD，AO⊥BD，故可得BD⊥面AOC
由此可得出BD⊥AC，∠AOC=60°，故①正確，
又由題設(shè)條件O是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，可得出AO=CO，于是有③△AOC為正三角形，可得③正確；
由上證知，CO與面ABD不垂直且CO⊥BD，故AD與CO不垂直，由此知②不正確；
由上證知，△AOC是等邊三角形，故AC=AO=CO=2

2

，AD=CD=4，所以cos∠ADC=

16+16-8

2×4×4

=

3

4

故④正確
由上判斷知①③④
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查與二面角有關(guān)的綜合問(wèn)題，考查了線面垂直，面面角的平面的確定等問(wèn)題，這是一個(gè)翻折問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題理解翻折過(guò)程中的變與不變是解題的關(guān)鍵