Question

12．對于任意a，b∈R，直線l₁：（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0與直線l₂：m²x+2y+n=0恒有一個(gè)相同的公共點(diǎn)，問：點(diǎn)（m，n）應(yīng)在怎樣的曲線上？

Answer 1

分析 求出直線（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0過定點(diǎn)（-2，3），直線m²x+2y+n=0也過定點(diǎn)（-2，3），將點(diǎn)坐標(biāo)代入m²x+2y+n=0，可得-2m²+6+n=0，即點(diǎn)（m，n）在拋物線y=2x²-6上．

解答 解：∵（2a+b）x+（a+b）y+a-b=（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0，
若對于任意a，b∈R都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+1=0}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，解得x=-2，y=3．
即直線（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0過定點(diǎn)（-2，3）．
因此直線m²x+2y+n=0也過定點(diǎn)（-2，3），
將點(diǎn)坐標(biāo)（-2，3）代入m²x+2y+n=0，可得-2m²+6+n=0，
即n=2m²-6，
∴點(diǎn)（m，n）在拋物線y=2x²-6上．

點(diǎn)評 本題考查直線與雙曲線方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．