Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)為非負(fù)實(shí)數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，且S

2 n

-n²S_n-（n²+1）=0
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，求

1

S2-2

+

1

S3-2

+

1

S4-2

+…+

1

Sn-2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將給出的等式分解因式可得Sn=n2+1，然后利用數(shù)列中的a_n和S_n的關(guān)系式求出a_n，注意要驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)a₁是否滿足，若滿足通項(xiàng)寫出一個(gè)式子，若不滿足須寫出分段函數(shù)的形式．
（2）由（1）已求出Sn=n2+1，代入所求式子后裂 求和即可．

解答： 解：（1）∵Sn2-n2Sn-(n2+1)=0，
∴（S_n+1）[S_n-（n²+1）]=0，
又∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)為非負(fù)實(shí)數(shù)，∴Sn=n2+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²+1）-[（n-1）²+1]=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
∵當(dāng)n=1時(shí)，2n-1=1≠a₁，
∴an=

2，n=1 2n-1，n≥2

．
（2）∵Sn=n2+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

1

S2-2

+

1

S3-2

+

1

S4-2

+…+

1

Sn-2

=

1

22-1

+

1

32-1

+

1

42-1

+…+

1

n2-1

=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-2

-

1

n

)+(

1

n-1

-

1

n+1

)]
=

1

2

(

1

1

+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)
=

3

4

-

2n+1

2n(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．