Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n與a_n的關(guān)系是S_n=-a_n+1-

1

2n

，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）求數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用S_n=-a_n+1-

1

2n

，n∈N^*，推導(dǎo)出a1=

1

4

，2nan-2n-1an-1=

1

2

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）由an=

n

2n+1

，利用錯(cuò)位相減法能求出Sn=1-

n+2

2n+1

，再利用分組求和法和錯(cuò)位相減法能求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n與a_n的關(guān)系是S_n=-a_n+1-

1

2n

，n∈N^*，
∴當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=-a₁+1-

1

2

，解得a1=

1

4

，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=Sn-Sn-1=-an+an-1+

1

2n

，
∴2nan-2n-1an-1=

1

2

，
∴2nan=2×a1+(n-1)×

1

2

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，
∴an=

n

2n+1

．
（Ⅱ）∵an=

n

2n+1

，
∴S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，①

1

2

Sn=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+2

，②
①-②，得

1

2

Sn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+2

=

1

2

（1-

1

2n

）-

n

2n+2

，
∴Sn=1-

n+2

2n+1

，
∴T_n=n-（

3

22

+

4

23

+…+

n+2

2n+1

），③

1

2

Tn=

1

2

n-（

3

23

+

4

24

+…+

n+2

2n+2

），④
③-④，得

1

2

Tn=

1

2

n-（

3

4

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+2

2n+2

）
=

1

2

n-[

3

4

+

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+2

2n+2

]
=

1

2

n-

3

4

-

1

4

+

1

2n+1

+

n+2

2n+2

，
∴Tn=n-2+

n+4

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意分組求和法和錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用．