【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,求,的值;

(2)當時,在區(qū)間上至少存在一個,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)m=2,n=﹣1;(2).

【解析】分析:(1)求出函數(shù)的導數(shù),結(jié)合切點坐標求出,的值即可;

(2)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論m的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出m的范圍即可.

詳解:(1)∵f′(x)=﹣+n,

故f′(0)=n﹣m,即n﹣m=﹣3,

又∵f(0)=m,故切點坐標是(0,m),

∵切點在直線y=﹣3x+2上,

故m=2,n=﹣1;

(2)∵f(x)=+x,∴f′(x)=,

當m≤0時,f′(x)>0,

故函數(shù)f(x)在(﹣∞,1)遞增,

令x0=a<0,此時f(x)<0,符合題意,

當m>0時,即0<m<e時,則函數(shù)f(x)在(﹣∞,lnm)遞減,在(lnm,+∞)遞增,

①當lnm<1即0<m<e時,則函數(shù)f(x)在(﹣∞,lnm)遞減,在(lnm,1]遞增,

f(x)min=f(lnm)=lnm+1<0,解得:0<m<,

②當lnm>1即m≥e時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣∞,1)遞減,

則函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣∞,1)上的最小值是f(1)=+1<0,解得:m<﹣e,無解,

綜上,m<,即m的范圍是(﹣∞,).

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