Question

已知f(x)=(1+x)(x+

1

x3

)n（n∈N^*）．
（1）當(dāng)n=8時(shí)，求f（x）展開式中的常數(shù)項(xiàng)；
（2）若f（x）展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，且2＜n＜6，求n的值，并求此時(shí)f（x）展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析：（1）將n的值代入f（x），利用多項(xiàng)式的乘法展開，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出兩部分的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出r的值，代入通項(xiàng)求出展開式的常數(shù)項(xiàng)．
（2）按多項(xiàng)式的乘法展開，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出兩部分的通項(xiàng)，令x的指數(shù)不為0，在n的范圍內(nèi)求出n，將n的值代入通項(xiàng)，令x的指數(shù)為2，求出展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答：解：（1）當(dāng)n=8時(shí)，f(x)=(x+

1

x3

)8+x(x+

1

x3

)8
(x+

1

x3

)8的通項(xiàng)為C₈^rx^8-4r，
當(dāng)r=2時(shí)為常數(shù)項(xiàng)C₈²=28
x(x+

1

x3

)8的通項(xiàng)為C₈^kx^9-4k，無常數(shù)項(xiàng)
故f（x）展開式中常數(shù)項(xiàng)為28
（2）(1+x)(x+

1

x3

)n=(x+

1

x3

)n+x(x+

1

x3

)n
(x+

1

x3

)n的通項(xiàng)為C_n^rx^n-4r，無常數(shù)項(xiàng)，故n≠4
x(x+

1

x3

)n的通項(xiàng)為C_n^kx^n-4k+1，無常數(shù)項(xiàng)．故n≠4k-1
由于n∈N^*且2＜n＜6，
故n=5
當(dāng)n=5時(shí)，x²項(xiàng)的系數(shù)求解如下：5-4r=2無解；
5-4k+1=2，故k=1，所以x²項(xiàng)的系數(shù)為C₅¹=5．

點(diǎn)評：解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的問題，一般利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，再解決．