Question

12．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f'（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f''（x）是f'（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f''（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，若$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$，請根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，
（1）求三次函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$的對稱中心；
（2）計算$f（{\frac{1}{2017}}）+f（{\frac{2}{2017}}）+f（{\frac{3}{2017}}）+…+f（{\frac{2016}{2017}}）$．

Answer 1

分析 （1）先求出f′（x）=x²-x+2，f''（x）=2x-1，由f''（x）=2x-1=0，解得x=$\frac{1}{2}$，再由f（$\frac{1}{2}$）=1，能求出$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$的對稱中心．
（2）由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$的對稱中心為（$\frac{1}{2}，1$），得到f（x）+f（1-x）=2，由此能求出$f（{\frac{1}{2017}}）+f（{\frac{2}{2017}}）+f（{\frac{3}{2017}}）+…+f（{\frac{2016}{2017}}）$．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$，
∴f′（x）=x²-x+2，f''（x）=2x-1，
由f''（x）=2x-1=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
∵f（$\frac{1}{2}$）=1，∴由題設(shè)知$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$的對稱中心為（$\frac{1}{2}，1$）．
（2）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$的對稱中心為（$\frac{1}{2}，1$），
∴$f（\frac{1}{2}+x）+f（\frac{1}{2}-x）=2$，即f（x）+f（1-x）=2，
∴$f（{\frac{1}{2017}}）+f（{\frac{2}{2017}}）+f（{\frac{3}{2017}}）+…+f（{\frac{2016}{2017}}）$=$\frac{1}{2}×$2×2016=2016．

點評 本題考查函數(shù)的對稱中心的求法，考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．