Question

在直三棱柱中，AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求點B₁到平面A₁BD的距離；
（3）求二面角A₁-DB-B₁的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,二面角的平面角及求法

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)AB₁，交A₁B于點O，連結(jié)OD，利用三角形的中位線定理，推導(dǎo)出OD∥B₁C，由此能夠證明B₁C∥平面A₁BD．
（2）以D為坐標(biāo)原點，以DC為x軸，以DB為y軸，以過D點垂直于AC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A₁BD的法向量，即可求出點B₁到平面A₁BD的距離；
（3）利用向量法能求出二面角A₁-BD-B₁的余弦值．

解答： 解：（1）連結(jié)AB₁，交A₁B于點O，連結(jié)OD，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=3，
∴ABB₁A₁是正方形，∴O是AB₁的中點，
∵D是AC的中點，∴OD是△ACB₁的中位線，∴OD∥B₁C，
∵B₁C不包含于平面A₁BD，OD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）以D為坐標(biāo)原點，以DC為x軸，以DB為y軸，
以過D點垂直于AC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中點，
∴A₁（-1，0，3），B（0，2

2

，0），
D（0，0，0），B₁（0，2

2

，3），
∴

DA1

=（-1，0，3），

DB

=（0，2

2

，0），

DB1

=（0，2

2

，3），
設(shè)平面A₁BD的法向量

m

=（x，y，z），則

-x+3z=0 2 2 y=0

，
∴

m

=（3，0，1），
∴d=

| n • DB1 |

| n |

=

3 10

10

；
（3 ）平面B₁BD的法向量為

DC

=（1，0，0），
∴cos＜

DC

，

n

＞=

3 10

10

，
∴二面角的余弦值為

3 10

10

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．