Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n=n²+n．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=

2

(n+1)an

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T₂₀₁₃．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，由此求出an=2n，n∈N*．
（2）由b_n=

2

(n+1)an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出T₂₀₁₃．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n=n²+n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n，（4分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，（5分）
當(dāng)n=1時(shí)上式也適用，
∴an=2n，n∈N*．（6分）
（2）b_n=

2

(n+1)an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（9分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，（11分）
∴T₂₀₁₃=1-

1

2014

=

2013

2014

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．