Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄恰好是等比數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}對(duì)于任意自然數(shù)n均有

1

cn

=(an+3)•log3bn，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：本題考查等差和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法、構(gòu)造數(shù)列的應(yīng)用、“裂項(xiàng)法”求前n項(xiàng)和等綜合性知識(shí)；
（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列{a_n}與{b_n}部分項(xiàng)的聯(lián)系，可以建立關(guān)于公差d的方程，由此得到d，然后在求出等比數(shù)列{b_n}的公比q的基礎(chǔ)上不難得到數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）所得數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)

1

cn

=(an+3)•log3bn可得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)求和方法即可得到數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：a₅²=a₂•a₁₄，
即：（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
整理化簡(jiǎn)得：3d²-6d=0，∵公差d＞0∴d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
由q=

b2

b1

=

a5

a2

=

1+4d

1+d

=3
∴b_n=b₁q^n-1=3ⁿ
故數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式分別為：
a_n=2n-1，b_n=3ⁿ
（Ⅱ）由

1

cn

=(an+3)•log3bn=（2n+2）n=2n（n+1）
∴cn=

1

2n(n+1)

由cn=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)；得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為
sn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+… +

1

n

-

1

n+1

)；
=

1

2

(1-

1

n+1

) =

n

2(n+1)

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合性研究，求解環(huán)節(jié)較多，但解題思路清晰，方向明確，不難解決；有兩點(diǎn)需要注意：其一，熟練把握等差和等比數(shù)列之間的聯(lián)系，明確彼此項(xiàng)的關(guān)系，按照題目要求逐層解決；其二，“裂項(xiàng)法”求前n項(xiàng)和經(jīng)常用到，要總結(jié)“裂項(xiàng)”的特點(diǎn)和方法．