Question

3．已知函數(shù)f（x）（x∈R）的圖象上任一點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程為y-y₀=（x₀-2）（x₀²-1）（x-x₀），那么函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． （-∞，2]
• C． （-∞，-1）和（1，2）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由切線方程y-y₀=（x₀-2）（x₀²-1）（x-x₀），可知任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x-2）（x²-1），然后由f′（x）＜0，可求單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x），（x∈R）上任一點(diǎn)（x₀y₀）的切線方程為y-y₀=（x₀-2）（x₀²-1）（x-x₀），
即函數(shù)在任一點(diǎn)（x₀y₀）的切線斜率為k=（x₀-2）（x₀²-1），
即知任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x-2）（x²-1）．
由f′（x）=（x-2）（x²-1）＜0，得x＜-1或1＜x＜2，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1）和（1，2）．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，先由切線方程得到切線斜率，進(jìn)而得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后解導(dǎo)數(shù)不等式，是解決本題的關(guān)鍵．