Question

13．已知a∈R，函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}+2ax（{x∈R}）$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為x²-ax-2a≥0對(duì)x∈R都成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+2x$，
∴f'（x）=-x²+x+2，令f'（x）＞0，
即-x²+x+2＞0，即x²-x-2＜0，解得-1＜x＜2，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，2）．
（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，
則f'（x）≤0對(duì)x∈R都成立，
即-x²+ax+2a≤0對(duì)x∈R都成立，
即x²-ax-2a≥0對(duì)x∈R都成立，
∴△=a²+8a≤0，解得-8≤a≤0，
∴當(dāng)-8≤a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．