Question

若函數(shù)f（x）=ax³+x在定義域R上恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，0]
• D、[0，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，要使f（x）=ax³+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則f'（x）=0，有兩個(gè)不等的實(shí)根，利用判別式△＞0，進(jìn)行求解即可．

解答： 解：由f（x）=ax³+x，得f′（x）=3ax²+1．
若函數(shù)f（x）=ax³+x在定義域R上恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，
則f′（x）=3ax²+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，
故△=-12a＞0，
解得a＜0，
∴滿足f（x）=ax³+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間的a的范圍是（-∞，0）；
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，是中檔題．