Question

（1）已知cos（

π

3

-θ）=

1

5

，θ∈（

π

2

，π），求cosθ的值；
（2）已知α，β∈（

3π

4

，π），sin（α+β）=-

3

5

，sin（β-

π

4

）=

12

13

，求cos（α+

π

4

）的值．

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用,兩角和與差的余弦函數

專題：計算題,三角函數的求值

分析：（1）由已知及同角三角函數關系式化簡可得：cos2θ-

1

5

cosθ-

71

100

=0，根據角的范圍即可解得cosθ的值；
（2）由角的范圍及同角三角函數關系式先求得cos（α+β），cos（β-

π

4

）的值，由cos（α+

π

4

）=cos[（α+β）-（β-

π

4

）]即可求值．

解答： 解：（1）∵cos（

π

3

-θ）=

1

5

，θ∈（

π

2

，π），
∴

1

2

cosθ+

3

2

sinθ=

1

5

，sinθ=

1-cos2θ

，
∴整理可得：

3

2

1-cos2θ

=

1

5

-

1

2

cosθ，
∴兩邊平方可得：cos2θ-

1

5

cosθ-

71

100

=0，
∴可解得：cosθ=-

1

10

-

3 2

5

或-

1

10

+

3 2

5

（舍去），
（2）∵α，β∈（

3π

4

，π），
∴α+β∈（

3π

2

，2π），cos（α+β）=

1-sin2(α+β)

=

4

5

，
∴β-

π

4

∈（

π

2

，

3π

4

），cos（β-

π

4

）=-

1-sin2(β- π 4 )

=-

5

13

，
∴cos（α+

π

4

）=cos[（α+β）-（β-

π

4

）]=cos（α+β）cos（β-

π

4

）+sin（α+β）sin（β-

π

4

）=

4

5

×(-

5

13

)+(-

3

5

)×

12

13

=-

56

65

．

點評：本題主要考查了同角三角函數基本關系的運用，兩角和與差的余弦函數公式的應用，解題時要注意角的關系α+

π

4

=（α+β）-（β-

π

4

），屬于中檔題．