Question

已知函數(shù)f（x）=

sin2x+2sin2x

1+tanx

-2

3

cos2x+

3

（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時，求f（x）的值域；
（3）若f（x）=

2

3

，且x∈[

π

6

，

π

3

]，求cos2x的值．

Answer 1

分析：（1）由題意，

1+tanx≠0 x≠kπ+ π 2

，可得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）化簡函數(shù)，再整體思維，即可求f（x）的值域；
（3）由f（x）=

2

3

，得sin（2x-

π

3

）=

1

3

，從而可求cos（2x-

π

3

）=

2 2

3

，利用cos2x=cos[（2x-

π

3

）+

π

3

]，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，

1+tanx≠0 x≠kπ+ π 2

，解得

x≠kπ- π 4 x≠kπ+ π 2

（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠kπ-

π

4

或x≠kπ+

π

2

，（k∈Z）}；
（2）f（x）=

sin2x+2sin2x

1+tanx

-2

3

cos2x+

3

=

2sinx(sinx+cosx)

sinx+cosx cosx

-

3

(2cos2x-1)
=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[-1，

3

2

]，
∴f（x）的值域為[-2，

3

]；
（3）由f（x）=

2

3

，得sin（2x-

π

3

）=

1

3

，
∵x∈[

π

6

，

π

3

]，
∴2x-

π

3

∈[0，

π

3

]，
∴cos（2x-

π

3

）=

2 2

3

，
∴cos2x=cos[（2x-

π

3

）+

π

3

]=cos（2x-

π

3

）cos

π

3

-sin（2x-

π

3

）sin

π

3

=

2 2 - 3

6

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查角的變換，考查學(xué)生 的計算能力，正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵．