Question

已知

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）設(shè)

a

與

b

的夾角為θ，解關(guān)于x的不等式：log₃（2^x-1）≤2^1-sinθ
（2）若存在不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)k和t，使

x

=a+（t-3）b，

y

=-ka+tb，且

x

⊥

y

，試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）；
（3）求函數(shù)k=f（t）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得θ=

π

2

，從而可解log₃（2^x-1）≤1，即得其解集；
（2）依題意，由

x

⊥

y

，得-ka²+t（t-3）b²=0，于是可求得k；
（3）由（2）知k=

1

4

t（t-3），配方后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)k=f（t）的最小值．

解答： 解：（1）由

a

•

b

=

3

2

-

3

2

=0，得

a

⊥

b

．
∵

a

與

b

的夾角為θ，
∴θ=

π

2

，∴l(xiāng)og₃（2^x-1）≤2^1-1=1，
∴2^x-1≤3，
解得：0＜x≤2，即原不等式的解集為{x|0＜x≤2}…（4分）
（2）由

x

⊥

y

，得，

x

•

y

=[a+（t-3）b]•（-ka+tb）=0，即-ka²-k（t-3）a•b+ta•b+t（t-3）b²=0．
-ka²+t（t-3）b²=0．
∴k=

1

4

t（t-3）．…（9分）
（3）k=

1

4

t（t-3）=

1

4

(t-

3

2

)2-

9

16

，
所以當(dāng)t=

3

2

時(shí)，k取最小值-

9

16

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，突出考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與二次函數(shù)的最值，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．