分析 (1)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)F2(c,0),則c2=a2-b2(c>0),以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心,以橢圓的長(zhǎng)半 軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為(x-c)2+y2=a2,圓心到直線$x+y+2\sqrt{2}-1=0$的距離d=$\frac{|c+2\sqrt{2}-1|}{\sqrt{2}}$=a,由此利用橢圓C的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形,能求出橢圓方程.
(Ⅱ)(i)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則D(-x1,-y1),由此能求出k1k2的值.
(ii)由k1k2=-$\frac{3}{4}$,得y1y2=-$\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}$,從而${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=4$,${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=3,由此能求出OB2+OC2 的值.
解答 解:(1)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)F2(c,0),則c2=a2-b2(c>0),
由題意,以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心,以橢圓的長(zhǎng)半 軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為(x-c)2+y2=a2,
∴圓心到直線$x+y+2\sqrt{2}-1=0$的距離
d=$\frac{|c+2\sqrt{2}-1|}{\sqrt{2}}$=a,(*),
∵橢圓C的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形,
∴b=$\sqrt{3}c$,a=2c,代入(*)式得c=1,b=$\sqrt{3}$,a=2,
故所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$.
(Ⅱ)(i)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則D(-x1,-y1),
∴k1k2=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}(4-{{x}_{2}}^{2})-\frac{3}{4}(4-{{x}_{1}}^{2})}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$.
(ii)由(i)知,k1k2=-$\frac{3}{4}$,故y1y2=-$\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}$.
∴$\frac{9}{16}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}={{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$=$\frac{3}{4}(4-{{x}_{2}}^{2})-\frac{3}{4}(4-{{x}_{1}}^{2})$,
即${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$=16-4(${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$)+${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$,∴${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=4$.
又2=($\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$)+($\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$)=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4}$,故${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=3.
∴OB2+OC2=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=7.
點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的求法,考查兩直線的斜率之積的求法,考查兩線段的平方和的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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