Question

12．設(shè)函數(shù)f （x）的定義域?yàn)镮，若對(duì)?x∈I，都有f（x）＜x，則稱f（x）為T-函數(shù)；
若對(duì)?x∈I，都有f[f（x）]＜x，則稱f（x）為Γ一函數(shù)．給出下列命題：
①f （x）=ln（l+x）（x≠0）為τ-函數(shù)；
②f （x）=sinx （0＜x＜π）為Γ一函數(shù)；
③f （x）為τ-函數(shù)是（x）為Γ一函數(shù)的充分不必要條件；
④?a∈R，使得f （x）=ax²-1既是τ一函數(shù)又是Γ一函數(shù)．
其中真命題有①②④．（把你認(rèn)為真命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 根據(jù)已知中τ-函數(shù)，與Γ一函數(shù)的定義，逐一分析給定四個(gè)命題的真假，可得答案．

解答 解：當(dāng)f（x）=ln（l+x）（x≠0）時(shí)，
滿足對(duì)?x∈（-1，0）∪（0，+∞），都有f（x）＜x，則（x）為τ-函數(shù)，即①正確；
當(dāng)f（x）=sinx （0＜x＜π）時(shí)，
滿足對(duì)?x∈（0，π）都有f[f（x）]＜x，則f（x）為Γ一函數(shù)，即②正確．
f（x）為τ-函數(shù)時(shí)，對(duì)?x∈I，都有f（x）＜x，
此時(shí)f（x）∈I不一定成立，故f[f（x）]＜f（x）不一定成立，
故f（x）為τ-函數(shù)不是（x）為Γ一函數(shù)的充分條件，即③錯(cuò)誤；
f（x）=ax²-1是τ一函數(shù)，即ax²-x-1＜0恒成立，故a＜-$\frac{1}{4}$，或a=0
f（x）=ax²-1是Γ一函數(shù)，即a（ax²-1）²-x-1＜0恒成立，故a＜-$\frac{1}{4}$，
即f（x）=ax²-1既是τ一函數(shù)又是Γ一函數(shù)的充要條件是a＜-$\frac{1}{4}$．即④正確；
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷應(yīng)用為載體，考查了全稱命題，函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．