Question

直線L：y=k（x+3）與圓O：x²+y²=4交于A、B兩點，則當△AOB的面積最大時，k=    ．

Answer 1

【答案】分析：由圓的方程找出圓心O坐標和半徑r，同時把直線l的方程整理為一般式方程，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心O到直線l的距離d，即為圓O中弦AB的弦心距，根據垂徑定理得到垂足為弦AB的中點，由圓的半徑，弦心距及弦的一半構成的直角三角形，利用勾股定理表示出弦AB的長度，然后利用三角形的面積公式底乘以高除以2，用含有d的式子表示出三角形ABC的面積，并利用基本不等式≤求出面積的最大值，以及面積取得最大值時d的值，從而列出關于k的方程，求出方程的解即可得到面積最大時k的值．
解答：解：由圓O：x²+y²=4，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=2，
把直線l的方程為y=k（x+3），整理為一般式方程得：kx-y+3k=0，
∴圓心O（0，0）到直線AB的距離d=，（9分）
弦AB的長度|AB|=2=2，
∴，（11分）
當且僅當d²=2時取等號，S_△ABC取得最大值，最大值為2，
此時，解得k=．
故答案為：
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，直線的一般式方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及基本不等式的應用，當直線與圓相交時，常常由弦長的一半，弦心距，以及圓的半徑構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．