如圖,已知直角三角形PAB的直角頂點為B,點P的坐標為(3,0),點B在y軸上,點A在x軸的負半軸上,在BA的延長線上取一點C,使
BC
=3
BA

(1)當B在y軸上移動時,求動點C的軌跡方程;
(2)若直線l:y=k(x-1)與點C的軌跡交于M、N兩點,設D(-1,0),當∠MDN為銳角時,求的取值范圍.
分析:(1)設C(x,y),A(a,0),B(0,b),其中a<0,b≠0.利用
BC
=3
BA
,可得(x,y-b)=3(a,-b),即x=3a,y=-2b.由于∠PBA=90°?
BP
BA
=0
,可得b2=-3a.聯(lián)立
x=3a,y=-2b
b2=-3a
,消去a,b即可.
(2)設M(x1,y1),N(x2,y2).聯(lián)立
y2=-4x
y=k(x-1)
可得k2≠0,△>0,解得k的取值范圍.可得根與系數(shù)的關系.由于∠MDN為銳角,可得
DM
DN
>0
,代入即可.
解答:解:(1)設C(x,y),A(a,0),B(0,b),其中a<0,b≠0.
BC
=3
BA
,∴(x,y-b)=3(a,-b),∴x=3a,y=-2b.
∵∠PBA=90°,∴
BP
BA
=0
,∴(3,-b)•(a,-b)=0,得b2=-3a.
聯(lián)立
x=3a,y=-2b
b2=-3a
,消去a,b得到y(tǒng)2=-4x(x<0).
(2)設M(x1,y1),N(x2,y2).聯(lián)立
y2=-4x
y=k(x-1)
化為k2x2-(2k2-4)x+k2=0,
∵k2≠0,△>0,解得0<k2<1.
x1+x2=
2k2-4
k2
,x1x2=1.
∵∠MDN為銳角,∴
DM
DN
>0
,∴(x1+1,y1)•(x2+1,y2)>0,化為x1x2+x1+x2+1+y1y2>0,
x1x2+x1+x2+k2(x1-1)(x2-1)>0,整理為(1-k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+1+k2>0,
代入解得k2
1
2
,又0<k2<1.
聯(lián)立得
1
2
k2<1
,解得k的取值范圍是(-1,-
2
2
)∪(
2
2
,1)
點評:熟練掌握拋物線的標準方程與性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立得到△>0及根與系數(shù)的關系、向量垂直與數(shù)量積的關系、向量夾角與數(shù)量積的關系等是解題的關鍵.
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AD
AC
,若CE⊥BD,則λ=( 。

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12
5
12
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A.      B.    C.         D.

 

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A.
B.
C.
D.

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