Question

12．如圖，△ABC內(nèi)接于直徑為BC的圓O，過點A作圓O的切線交CB的延長線于點P，∠BAC的平分線分別交BC和圓O于點D、E，若sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，PA=10．
（Ⅰ）求PB的長；
（Ⅱ）求AD•DE的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過證明△ABP∽△CAP，然后證明AC=2AB；
（Ⅱ）利用切割線定理以及相交弦定理直接求AD•DE的值．

解答 解：（Ⅰ）∵PA是圓O的切線，∴∠PAB=∠ACB，
又∠P是公共角
∴△ABP∽△CAP
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{PB}$，
∵△ABC內(nèi)接于直徑為BC的圓O，sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴$\frac{AC}{AB}$=2，
∵PA=10，
∴PB=5；
（Ⅱ）由切割線定理得：PA²=PB•PC∴PC=20
又PB=5，∴BC=15
又∵AD是∠BAC的平分線，∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DB}$=2
∴CD=2DB，∴CD=10，DB=5
又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50．

點評 本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形的判定及切線性質(zhì)的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．