Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，它的一個頂點在拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的準線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓C上兩點，已知$\overrightarrow m=（\frac{x_1}{a}，\frac{y_1}），\overrightarrow n=（\frac{x_2}{a}，\frac{y_2}）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$．
（�。┣�$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍；
（ⅱ）判斷△OAB的面積是否為定值？若是，求出該定值，不是請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的準線$y=-\sqrt{2}$，推出b，利用離心率求出橢圓的a，c然后求解橢圓的方程．
（Ⅱ）利用$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$得x₁x₂=-3y₁y₂，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當l斜率不存在時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁）求出結(jié)果，當l斜率存在時，設(shè)l方程y=kx+m，與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理化簡$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，推出范圍．
（ⅱ）由（�。┲�，l斜率不存在時，求出三角形的面積，l斜率存在時，求出三角形的面積即可．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）因為拋物線${x^2}=4\sqrt{2}y$的準線$y=-\sqrt{2}$，∴$b=\sqrt{2}$-----------（1分）
由$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}⇒\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{2}{3}⇒a=\sqrt{6}$----------------------（2分）
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．----------------------（3分）
（Ⅱ）由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$得x₁x₂=-3y₁y₂----------------------（4分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）所在直線為l，當l斜率不存在時，
則A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁），∴${x_1}^2=3y_1^2$，又$\frac{{{x_1}^2}}{6}+\frac{{{y_1}^2}}{2}=1$，∴${y_1}^2=1$
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=2y_1^2=2$----------------------（5分）
當l斜率存在時，設(shè)l方程y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+3{y^2}=6\end{array}\right.$得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0
∴△=36k²m²-12（3k²+1）（m²-2）=12（6k²-m²+2）＞0…（a）
且${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{3{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-6}}{{3{k^2}+1}}$．----------------------（7分）

由$\begin{array}{c}{x}_{1}{x}_{2}=-3{y}_{1}{y}_{2}=-3（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）\end{array}\right.$$⇒（1+3{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+3km（{x}_{1}+{x}_{2}）+3{m}^{2}=0$
整理得1+3k²=m²…（b）-----------（8分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{2}{3}{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{{1+3{k^2}}}=\frac{{2{m^2}-4}}{m^2}=2-\frac{4}{m^2}$
由（a），（b）得m²=1+3k²≥1，∴$0＜\frac{4}{m^2}≤4$，∴$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＜2$
綜上：∴$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤2$．----------------------（10分）
（ⅱ）由（�。┲�，l斜率不存在時，${S_{△OAB}}=|{x_1}{y_1}|=\sqrt{3}y_1^2=\sqrt{3}$，----------------（11分）
l斜率存在時，${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{3}|m|\frac{{\sqrt{2+6{k^2}-{m^2}}}}{{1+3{k^2}}}$
將m²=1+3k²帶入整理得${S_{△OAB}}=\sqrt{3}$----------------------（13分）
所以△OAB的面積為定值$\sqrt{3}$．----------------------（14分）

點評 本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，橢圓的標準方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．