4.已知向量$\overrightarrow{m}$=(2cosωx,-1),$\overrightarrow{n}$=(sinωx-cosωx,2)(ω>0),函數(shù)f(x)=$\overrightarrow m•\overrightarrow n+3$,若函數(shù)f(x)的圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為$\frac{π}{2}$.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移$\frac{π}{4}$個單位,然后縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍,得到函數(shù)g(x)的圖象,當(dāng)$x∈[\frac{π}{6},\frac{π}{2}]$時,求函數(shù)g(x)的值域.

分析 (Ⅰ)由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式,三角恒等變換求得f(x)的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(Ⅱ)由題意根據(jù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,求得g(x)的解析式,再利用定義域和值域,求得函數(shù)g(x)的值域.

解答 解:(Ⅰ)由題意可得 $f(x)=\overrightarrow m•\overrightarrow n+3=2cosωx(sinωx-cosωx)-2+3$
sin2ωx-2cos2ωx+1=sin2ωx-cos2ωx=$\sqrt{2}$sin(2ωx-$\frac{π}{4}$),
由題意知,$T=\frac{2π}{2ω}=π$,∴ω=1,∴$f(x)=\sqrt{2}sin(2x-\frac{π}{4})$.
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2},k∈Z$,
解得:$kπ-\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{3π}{8},k∈Z$,
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{8},kπ+\frac{3π}{8}],k∈Z$.
(Ⅱ)由題意,把f(x)的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位,得到$y=\sqrt{2}sin(2x+\frac{π}{4})$,
再縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍,得到$g(x)=\sqrt{2}sin(4x+\frac{π}{4})$,
∵$x∈[\frac{π}{6},\frac{π}{2}]$,∴$4x+\frac{π}{4}∈[\frac{11π}{12},\frac{9π}{4}]$,∴$-1≤sin(4x+\frac{π}{4})≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
函數(shù)g(x)的值域?yàn)?$[-\sqrt{2},1]$.

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式,三角恒等變換,y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域,屬于基礎(chǔ)題.

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