Question

6．等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)、前2n項(xiàng)、前3n項(xiàng)之和分別為A、B、C．
（1）證明：A²+B²=A（B+C）；
（2）若對(duì)任意n∈N*，A、B、C成等差數(shù)列，證明：{a_n}是常數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)q=1時(shí)，成立．當(dāng)q≠1時(shí)，A=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，B=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$=A（1+qⁿ），可得C=A（1+q+q²）．即可證明．
（2）對(duì)任意n∈N*，A、B、C成等差數(shù)列，可得2B=A+C．由（1）可得：2A（1+qⁿ）=A+A（1+qⁿ+q²ⁿ），A≠0，化簡(jiǎn)解出即可得出．

解答 （1）證明：當(dāng)q=1時(shí)，成立．當(dāng)q≠1時(shí)，A=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，B=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$=A（1+qⁿ），可得C=A（1+q+q²）．
∴A²+B²=A²+A²（1+qⁿ）²=A²（2+2qⁿ+q²ⁿ）=A（B+C）．
∴A²+B²=A（B+C）．
（2）證明：對(duì)任意n∈N*，A、B、C成等差數(shù)列，∴2B=A+C．
由（1）可得：2A（1+qⁿ）=A+A（1+qⁿ+q²ⁿ），A≠0，∴（qⁿ）²-qⁿ=0，解得qⁿ=1（q≠0）．
解得q=1，∴等比數(shù)列{a_n}是常數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．