Question

已知二次函數(shù)f（x）的最大值為2，且f（1）=f（3）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：求二次函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法，由于已知f（1）=f（3）=0，因此設(shè)兩根式比較好；二次函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，只需要二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間左側(cè)或右側(cè)．

解答： 解：（1）∵f（1）=f（3）=0，∴設(shè)f（x）=a（x-1）（x-3），函數(shù)f（x）的對稱軸為x=2，
   函數(shù)f（x）在x=2上取得最大值2，
∴f（2）=-a=2，解得a=-2，
  所以函數(shù)的解析式為f（x）=-2x²+8x-6；
 （2）要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)，則需m≥2或m+1≤2，即m≥2或m≤1，
故當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)時，m的取值范圍為（-∞，1]或[2，+∞）．

點評：本題考查了用待定系法求二次函數(shù)解析式的方法，關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)男问�；研究二次函�?shù)的單調(diào)性主要是研究對稱軸與區(qū)間的關(guān)系．