Question

已知圓A:x²+y²+2x+2y-2=0,若圓B平分圓A的周長(zhǎng)，且圓B的圓心在直線l:y=2x上，求滿足上述條件的半徑最小的圓B的方程.

Answer 1

解析：(1)考慮到圓B的圓心在直線l上移動(dòng)，可寫(xiě)出動(dòng)圓B的方程，再設(shè)法建立起圓B的半徑r的目標(biāo)函數(shù).

設(shè)圓的半徑為r.

∵圓B的圓心在直線l:y=2x上，

∴圓B的圓心可設(shè)為(t,2t),則圓B的方程是

(x-t)²+(y-2t)²=r²,

即  x²+y²-2tx-4ty+5t²-r²=0.                         ①

∵圓A的方程是  x²+y²+2x+2y-2=0,                ②

∴②-①，得兩圓的公共弦方程

(2+2t)x+(2+4t)y-5t²+r²-2=0.                        ③

∵圓B平分圓A的周長(zhǎng)，

∴圓A的圓心(-1，-1)必須在公共弦上，于是，將x=-1,y=-1代入方程③,并整理得

r²=5t²+6t+6(目標(biāo)函數(shù))

∴當(dāng)t=時(shí),r_min=

此時(shí),圓B的方程是.