【題目】若對任意的正整數(shù),總存在正整數(shù),使得數(shù)列的前項和,則稱是“回歸數(shù)列”.
()①前項和為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”?并請說明理由.②通項公式為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”?并請說明理由;
()設是等差數(shù)列,首項,公差,若是“回歸數(shù)列”,求的值.
()是否對任意的等差數(shù)列,總存在兩個“回歸數(shù)列”和,使得成立,請給出你的結(jié)論,并說明理由.
【答案】()見解析;();()見解析.
【解析】試題分析: 利用當時, ,當時, 即可得到,再利用“回歸數(shù)列”的意義即可得出;②, , 為偶數(shù),即可證明數(shù)列是“回歸數(shù)列”
利用等差數(shù)列的前項和即可得到,對任意,存在,使,取時和根據(jù)即可得出結(jié)論
設等差數(shù)列的公差為,構造數(shù)列, ,可證明和是等差數(shù)列。再利用等差數(shù)列的前項和公式及其通項公式,“回歸數(shù)列”,即可得出;
解析:()①當時, ,
當時, ,
當時, ,
∴數(shù)列是“回歸數(shù)列”.
②,前項和,
∵為偶數(shù),
∴存在,
即,使,
∴數(shù)列是“回歸數(shù)列”.
(),
對任意,存在,使,
即,
取時,得,解得,
∵,
∴,
又,
∴,
∴.
()設等差數(shù)列的公差為,令,
對, ,
令,則對, ,
則,且數(shù)列和是等差數(shù)列,
數(shù)列的前項和,
令,則,
當時, ;
當時, .
當時, 與的奇偶性不同,
故為非負偶數(shù),
∴,
∴對,都可找到,使成立,
即為“回歸數(shù)列”.
數(shù)列的前項和,
∴,
則,
∵對, 為非負偶數(shù),
∴,
∴對,都可找到,使得成立,
即為“回歸數(shù)列”,
故命題得證.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上各點的橫坐標都縮短為原來的倍,縱坐標坐標都伸長為原來的倍,得到曲線,在極坐標系(與直角坐標系取相同的單位長度,且以原點為極點,以軸非負半軸為極軸)中,直線的極坐標方程為.
(1)求直線和曲線的直角坐標方程;
(2)設點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為偶函數(shù),且函數(shù)的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.
(1)求的值;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后,再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍,縱坐標不變,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是1,2兩組各7名同學體重(單位:kg)數(shù)據(jù)的莖葉圖.設1,2兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為1和2,標準差依次為s1和s2,那么( )
(注:標準差,其中為x1,x2,…,xn的平均數(shù))
A.1>2,s1>s2
B.1>2,s1<s2
C.1<2,s1<s2
D.1<2,s1>s2
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓O:,直線l:.
若直線l與圓O交于不同的兩點A、B,當為銳角時,求k的取值范圍;
若,P是直線l上的動點,過P作圓O的兩條切線PC、PD,切點為C、D,則直線CD是否過定點?若是,求出定點,并說明理由.
若EF、GH為圓O的兩條相互垂直的弦,垂足為,求四邊形EGFH的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知各項均不相等的等差數(shù)列的前五項和,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若為數(shù)列的前項和,且存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】事件一:假設某地區(qū)有高中生2400人,初中生10900人,小學生11000人.為了了解該地區(qū)學生的視力健康狀況,從中抽取的學生進行調(diào)查.事件二:某校為了了解高一年級學生對教師教學的滿意率,打算從高一年級500名學生中抽取50名進行調(diào)查.對于事件一和事件二,恰當?shù)某闃臃椒ǚ謩e是( )
A. 系統(tǒng)抽樣,分層抽樣
B. 系統(tǒng)抽樣,簡單隨機抽樣
C. 簡單隨機抽樣,系統(tǒng)抽樣
D. 分層抽樣,系統(tǒng)抽樣
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設等比數(shù)列a1,a2,a3,a4的公比為q,等差數(shù)列b1,b2,b3,b4的公差為d,且.記(i1,2,3,4).
(1)求證:數(shù)列不是等差數(shù)列;
(2)設, .若數(shù)列是等比數(shù)列,求b2關于d的函數(shù)關系式及其定義域;
(3)數(shù)列能否為等比數(shù)列?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某音樂院校舉行“校園之星”評選活動,評委由本校全體學生組成,對兩位選手,隨機調(diào)查了20個學生的評分,得到下面的莖葉圖:
所得分數(shù) | 低于60分 | 60分到79分 | 不低于80分 |
分流方向 | 淘汰出局 | 復賽待選 | 直接晉級 |
(1)通過莖葉圖比較兩位選手所得分數(shù)的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,得出結(jié)論即可);
(2)舉辦方將會根據(jù)評分結(jié)果對選手進行三向分流,根據(jù)所得分數(shù),估計兩位選手中哪位選手直接晉級的概率更大,并說明理由.
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