Question

【題目】已知圓O：，直線l：．

若直線l與圓O交于不同的兩點A、B，當為銳角時，求k的取值范圍；

若，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，則直線CD是否過定點？若是，求出定點，并說明理由．

若EF、GH為圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為，求四邊形EGFH的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）直線CD恒過定點．詳見解析（3）

【解析】

(1)首先可以設出兩點坐標，然后聯(lián)立圓與直線方程并得出的值，最后根據(jù)以及即可得出結果；

(2)首先將帶入直線方程得出直線的解析式，然后設出點坐標并寫出以為直徑的圓的方程，最后將其與圓方程聯(lián)立即可得出直線的方程并根據(jù)直線的方程得出定點坐標；

(3)首先可以設圓心到直線的距離分別為、，然后通過勾股定理即可得出的值，再然后寫出與，通過即可求出四邊形的面積的最大值。

(1)根據(jù)題意，設，，

將代入，整理得到：，

則有，解可得：，

而，

為銳角，

又由，

解可得：，

又由，則，

解可得：或；

(2)時，直線l的方程為：，

設，則以為直徑的圓的方程為，

即，將其和圓O：聯(lián)立，消去平方項得：，即為直線的方程，

將其化為知該直線恒過定點，

故直線CD恒過定點；

(3)設圓心O到直線EF、GH的距離分別為、，

則，

所以，，

所以，

當且僅當即時，取“”，

所以四邊形EGFH的面積的最大值為。