Question

在數(shù)列{a_n}中，，且前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n﹣1倍（n∈N*）．
（1）寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）歸納猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

解：（1）由已知，=（2n﹣1）a_n，
分別取n=2，3，4，5， 得
，
，
，
；
所以數(shù)列的前5項(xiàng)是：，，，，；  
（2）由（1）中的分析可以猜想（n∈N*）． 
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．          
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1且k∈N*）時(shí)猜想成立，即． 
那么由已知，得，
即a₁+a₂+a₃+…+a_k=（2k²+3k）a _k+1．
所以（2k²﹣k）a_k=（2k²+3k）a _k+1， 即（2k﹣1）a_k=（2k²+3）a _k+1，
又由歸納假設(shè)，得，
所以，即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．       
綜上①和②知，對(duì)一切n∈N*，都有成立．