Question

集合A={x|lnx-ax=0}恰有兩個子集，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：如圖所示．由于集合A={x|lnx-ax=0}恰有兩個子集，說明：集合A只含有一個元素．分類討論：當(dāng)a=0時，由lnx=0，解得x即可；當(dāng)直線y=ax與函數(shù)y=lnx相切時，設(shè)切點為P（x₀，y₀）．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得（lnx）′=

1

x

，a=

1

x0

．及利用y₀=ax₀，y₀=lnx₀，解得a=

1

e

．當(dāng)a＜0時，直線y=ax與函數(shù)y=lnx的圖象相交，此時只有一個交點．當(dāng)a＞0時，直線y=ax與函數(shù)y=lnx的圖象相交于兩個交點，即可得出．

解答：解：如圖所示．
∵集合A={x|lnx-ax=0}恰有兩個子集，
∴集合A只含有一個元素．
①當(dāng)a=0時，lnx=0，解得x=1，∴A={1}滿足題意；
②當(dāng)直線y=ax與函數(shù)y=lnx相切時，設(shè)切點為P（x₀，y₀）．
∵（lnx）′=

1

x

，∴a=

1

x0

．
又y₀=ax₀，y₀=lnx₀，解得a=

1

e

．
③當(dāng)a＜0時，直線y=ax與函數(shù)y=lnx的圖象相交，此時只有一個交點．
④當(dāng)a＞0時，直線y=ax與函數(shù)y=lnx的圖象相交于兩個交點，此時不符合題意，應(yīng)舍去．
綜上可知：a的取值范圍為：（-∞，0]∪{

1

e

}．
故答案為：（-∞，0]∪{

1

e

}．

點評：本題考查了集合的意義、函數(shù)圖象的交點、分類討論、導(dǎo)數(shù)的集合意義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．