Question

集合A={x|lnx-ax=0}恰有三個(gè)真子集，則a的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：集合A={x|lnx-ax=0}恰有三個(gè)真子集得出此集合中有兩個(gè)元素．令函數(shù)f（x）=0，然后轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題．
解答：解：集合A={x|lnx-ax=0}恰有三個(gè)真子集集合中有兩個(gè)元素，
即lnx-ax=0有兩個(gè)根，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)y=lnx與y=ax的圖象，
易知兩函數(shù)圖象有且只有二個(gè)交點(diǎn)，
∵y=lnx，∴y′=，
令y′=，得=，x=e，
∴當(dāng)直線y=ax與曲線y=lnx相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為（e，1），
此時(shí)切線的斜率a=，
∵兩函數(shù)圖象有且只有二個(gè)交點(diǎn)，
由圖象得：a的取值范圍為（0，）．
故答案為：（0，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，對(duì)于集合M的真子集問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)，若M中有n個(gè)元素，則集合M的真子集共有（2ⁿ-1）個(gè)，本題還考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定方法--轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象看交點(diǎn)的問(wèn)題．是零點(diǎn)判定的常用方法之一．