Question

設函數(shù)f（x）=x³-4x+a（0＜a＜2）有三個零點x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則下列結論正確的是（ ）
A．x₁＞-1
B．x₂＜0
C．0＜x₂＜1
D．x₃＞2

Answer 1

【答案】分析：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，再根據(jù)f （x）的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各個零點所在的區(qū)間，從而得出結論．
解答：解：∵函數(shù)f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，
∴f′（x）=3x²-4．令f′（x）=0，得 x=±．
∵當x＜-時，f′（x）＞0；
在（-，）上，f′（x）＜0；
在（，+∞）上，f′（x）＞0．
故函數(shù)在（-∞，-）上是增函數(shù)，在（-，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)．
故f（-）是極大值，f（）是極小值．
再由f （x）的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
得 x₁＜-，-＜x₂，x₃＞．
根據(jù)f（0）=a＞0，且f（）=a-＜0，得＞x₂＞0．
∴0＜x₂＜1．
故選C．
點評：本題主要考查函數(shù)的零點的定義，函數(shù)的零點與方程的根的關系，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．