Question

設(shè)t∈[-1，+∞），x=2^-t，y=4^-t+a•2^1+t-1，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式f（x），并求其定義域和值域．

Answer 1

【答案】分析：由x=2^-t得t=-log₂x，代入y=4^-t+a•2^1+t-1，可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式f（x），根據(jù)t∈[-1，+∞），可求函數(shù)定義域．
求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)與函數(shù)定義域的關(guān)系進(jìn)行分類討論（1）當(dāng)≥2即a≥8時(shí)，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)0＜上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；（3）當(dāng)a=0時(shí)，y=x²-1，值域?yàn)閥∈（-1，3]；當(dāng)＜0即a＜0時(shí)，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，故可求函數(shù)值域．
解答：解：由x=2^-t得t=-log₂x，代入y=4^-t+a•2^1+t-1，得-1
定義域?yàn)?＜x≤2．
∵y'=2x-，（其中令x≠0）

（1）當(dāng)≥2即a≥8時(shí)，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，
∴x=2時(shí)，y_min=3+a；x→0時(shí)，y→+∞，即值域?yàn)閥∈[3+a，+∞）
（2）當(dāng)0＜上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
∴x=．
（3）當(dāng)a=0時(shí)，y=x²-1，值域?yàn)閥∈（-1，3]
（4）當(dāng)＜0即a＜0時(shí)，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
∴x=2時(shí)，y_max=3+a；x→0時(shí)，y→-∞，即值域?yàn)閥∈（-∞，3+a]．
綜上可知，值域y=
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查換元思想，考查函數(shù)的定義域與值域，解題的關(guān)鍵是利用極值點(diǎn)與定義域的關(guān)系，合理進(jìn)行分類討論．