Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{2}^{2n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的遞推式可得a₁=S₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化簡整理，由等差數(shù)列的定義即可得證；
（2）運用等差數(shù)列的通項公式，化簡整理可得b_n=$\frac{{2}^{2n+1}}{（n+1）（n+2）•{2}^{n}•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．①
可得a₁=S₁=2a₁-4，解得a₁=4，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ．②
①-②可得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ⁺¹+2ⁿ，
則a_n=2a_n-1+2ⁿ，
可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$+1，
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得a_n=2ⁿ（2+n-1）=（n+1）2ⁿ，
b_n=$\frac{{2}^{2n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{2n+1}}{（n+1）（n+2）•{2}^{n}•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
則數(shù)列{b_n}的前n項和為$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列的遞推式，考查等差數(shù)列的定義和通項公式，考查裂項相消求和，以及運算能力，屬于中檔題．