Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，＝，記數(shù)列的前項(xiàng)和.若對， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）關(guān)于項(xiàng)與的遞推式，往往有兩種解決方法，其一是轉(zhuǎn)化為與的遞推式，先求再求；其二是轉(zhuǎn)化為與的遞推式再求，其中是 轉(zhuǎn)化橋梁，本題將已知條件轉(zhuǎn)化為，得數(shù)列為以2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）首先求得，通過分析其結(jié)構(gòu)，利用裂項(xiàng)相消法求和得，帶入中轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

即：，數(shù)列為以2為公比的等比數(shù)列

（2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，則cn＝＝＝－，

Tn＝1－＋－＋ ＋－＝1－＝.

∵≤k（n＋4），∴k≥＝．

∵n＋＋5≥2＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝2時(shí)等號成立，

∴≤，因此k≥，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列通項(xiàng)公式；2、裂項(xiàng)相消法求和；3、基本不等式.