Question

19．在△ABC中，a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，設(shè)向量$\overrightarrow m=（b-c，c-a）$，$\overrightarrow n=（b，c+a）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，b和c的等差中項為$\frac{1}{2}$，則△ABC面積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{16}$．

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，利用向量的性質(zhì)建立關(guān)系與余弦定理結(jié)合可得A的大小．b和c的等差中項為$\frac{1}{2}$，根據(jù)等差中項性質(zhì)，可得b+c=1．△ABC面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA，利用基本不等式可得最大值．

解答 解：向量$\overrightarrow m=（b-c，c-a）$，$\overrightarrow n=（b，c+a）$，
∵$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，
∴b（b-c）+（c-a）（c+a）=0．
得：b²-bc=-c²+a²．即-a²+b²+c²=bc
由余弦定理：b²+c²-a²=2bccosA
可是：bc=2bccosA．
∴cosA=$\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{π}{3}$
又b和c的等差中項為$\frac{1}{2}$，根據(jù)等差中項性質(zhì)，
可得b+c=1．
∴b+c$≥2\sqrt{bc}$，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號）
可得：bc≤$\frac{1}{4}$．
則△ABC面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{16}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{16}$．

點評 本題考查了向量垂直的運算，余弦定理的運算，等差中項性質(zhì)以及不等式的運用．屬于中檔題．