Question

14．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且滿足bcosC+$\frac{1}{2}$c=a．
（1）求△ABC的內(nèi)角B的大小；
（2）若△ABC的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)可得答案．
（2）根據(jù)△ABC的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{1}{2}$acsinB建立關(guān)系，結(jié)合余弦定理，即可判斷．

解答 解：（1）∵bcosC+$\frac{1}{2}$c=a．
由正弦定理，可得sinBcosC$+\frac{1}{2}$sinC=sinA．
∵sinA=sin（B+C）．
∴sinBcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinBcosC+sinCcosB
∵0＜C＜π，sinC≠0．
∴cosB=$\frac{1}{2}$．
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由△ABC的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{1}{2}$acsinB，
可得：b²=ac．
由余弦定理：cosB=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
得：a²+c²-2ac=0，即（a-c）²=0．
∴a=c．
故得△ABC是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查△ABC的面積的運(yùn)用來(lái)判斷三角形，以及正余弦定理的合理運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．