Question

5．已知f（x）=3cos²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$（ω＞0）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)A為圖象的最高點(diǎn)，B，C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且三角形ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$π．
（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程；
（2）若f（x₀）=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，x₀∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），求f（x₀+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再由題意結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得ω的值，可得f（x）的解析式，從而求得函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程．
（2）由條件求得sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，再利用2x₀+$\frac{π}{3}$的范圍求得cos（2x₀+$\frac{π}{3}$），利用兩角和的正弦公式，求得f（x₀+$\frac{π}{6}$）=sin[（2x₀+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]的值．

解答 解：（1）f（x）=3cos²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$=3•$\frac{1+cosωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx+$\frac{1}{2}$sinωx）=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$） 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，
點(diǎn)A為圖象的最高點(diǎn)，B，C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且三角形ABC的面積為$\frac{1}{2}$•$\frac{T}{2}$•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$π，∴ω=2，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，故函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
（2）若f（x₀）=$\sqrt{3}$sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，∴sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．
∵x₀∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），∴2x₀+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cos（2x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
∴f（x₀+$\frac{π}{6}$）=sin（2x₀+$\frac{2π}{3}$）=sin[（2x₀+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（2x₀+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}$+（-$\frac{3}{5}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同角三角的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，屬于中檔題．