Question

14．如圖所示，過點(diǎn)P分別做圓O的切線PA、PB和割線PCD，弦BE交CD于F，滿足P、B、F、A四點(diǎn)共圓．
（Ⅰ）證明：AE∥CD；
（Ⅱ）若圓O的半徑為5，且PC=CF=FD=3，求四邊形PBFA的外接圓的半徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AB，利用P、B、F、A四點(diǎn)共圓，PA與圓O切于點(diǎn)A，得出兩組角相等，即可證明：AE∥CD；
（Ⅱ）四邊形PBFA的外接圓就是四邊形PBOA的外接圓，OP是該外接圓的直徑，由切割線定理可得PA，即可求四邊形PBFA的外接圓的半徑．

解答 （ I）證明：連接AB．
∵P、B、F、A四點(diǎn)共圓，∴∠PAB=∠PFB． …（2分）
又PA與圓O切于點(diǎn)A，∴∠PAB=∠AEB，…（4分）
∴∠PFB=∠AEB∴AE∥CD．…（5分）
（ II）解：因?yàn)镻A、PB是圓O的切線，所以P、B、O、A四點(diǎn)共圓，
由△PAB外接圓的唯一性可得P、B、F、A、O共圓，
四邊形PBFA的外接圓就是四邊形PBOA的外接圓，∴OP是該外接圓的直徑．…（7分）
由切割線定理可得PA²=PC•PD=3×9=27 …（9分）
∴$OP=\sqrt{P{A^2}+O{A^2}}=\sqrt{27+25}=2\sqrt{13}$．
∴四邊形PBFA的外接圓的半徑為$\sqrt{13}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查四點(diǎn)共圓，考查圓的切線的性質(zhì)，考查切割線定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．