Question

19．設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數(shù)為f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數(shù)為f″（x），若區(qū)間（a，b）上f″（x）＞0．則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凹函數(shù)”，己知f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²在（1，3）上為“凹函數(shù)”．則實數(shù)m的取值范圍是m≤-3．．

Answer 1

分析 本題根據(jù)二階導數(shù)的定義及函數(shù)特征，研究原函數(shù)的二階導數(shù)，求出m的取值范圍，得到本題結論．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²，
∴f′（x）=$\frac{1}{4}$x⁴-$\frac{1}{3}$mx³-4x，
∴f″（x）=x³-mx²-4．
∵f（x）在區(qū)間（1，3）上為“凹函數(shù)”，
∴f″（x）＞0．
∴x³-mx²-4＞0，x∈（1，3）．
∴m＜x-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∵x-$\frac{4}{{x}^{2}}$在（1，3）上單調遞增，
∴x-$\frac{4}{{x}^{2}}$在（1，3）上滿足：x-$\frac{4}{{x}^{2}}$＞1-4=-3．
∴m≤-3．
故答案為：m≤-3．

點評 本題考查了二階導數(shù)和函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．