Question

若橢圓

x2

4

+

y2

3

=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)是其右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)M，使得|MP|+2|MF|值最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（　�。�

• A．(1，±

  3

  2

  )
• B．(

  2 6

  3

  ，-1)
• C．(1，-

  3

  2

  )
• D．(±

  2 6

  3

  ，-1)

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到a²、b²的值，再由c=

a2-b2

求出c的值，求出離心率；根據(jù)題意畫出圖形，利用橢圓的第二定義，把|MF|轉(zhuǎn)化到右準(zhǔn)線的距離，利用“兩點(diǎn)間的距離最短”和條件，求出最小值以及對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：依題設(shè)a2=4，b2=3，c=

a2-b2

=1
所以，離心率e=

c

a

=

1

2

如圖：過M點(diǎn)作MQ垂直于橢圓的右準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)Q，
由橢圓的第二定義和（1）可知：

|MF|

|MQ|

=

1

2

，所以|MF|=

1

2

|MQ|，
故|MP|+2|MF|=|MP|+|MQ|，
所以當(dāng)P、M、Q三點(diǎn)共線時(shí)，由P（1，-1）得，
所求的值最小為|PQ|=(

a2

c

-xP)=4-1=3，
把y=-1代入橢圓方程，解得x=

2 6

3

或x=-

2 6

3

（舍去），
此時(shí)，M(

2 6

3

，-1)．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用第二定義把“橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離”進(jìn)行求解