Question

20．已知函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上可導(dǎo)，且滿足（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲線f（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線為y=g（x）且g（a）=2016，則a=-502.5．

Answer 1

分析 由題意可構(gòu)造函數(shù)F（x）=x²f（x），求出導(dǎo)數(shù)，結(jié)合條件可得F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，可得F′（1）=0，可得f′（1）=-4，求出f（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線為y=g（x），代入計(jì)算即可得到所求a的值．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=x²f（x），
則F′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
由（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）
可知，當(dāng)x＞1時，2f（x）+xf′（x）＞0，
即F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜1時，2f（x）+xf′（x）＜0，
即F（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
則F′（1）=2f（1）+f′（1）=0，
由f（1）=2，
故f′（1）=-4，
則曲線f（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線為y-2=-4（x-1），
即有g(shù)（x）=6-4x，
由g（a）=6-4a=2016，
則a=-502.5．
故答案為：-502.5．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查構(gòu)造函數(shù)法，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．