Question

5．如圖所示，點E為矩形ABCD邊CD的中點，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，將△ADE沿AE折起到△AD₁E的位置，使得平面AD₁E⊥平面ABCE，連接BD₁、CD₁，得到如圖乙所示的幾何體．
（1）證明：AE⊥BD₁；
（2）求點C到平面ABD₁的距離．

Answer 1

分析 （1）過點D₁作D₁O⊥AE，交AE于點O，連結(jié)BO，由已知得D₁O⊥平面ABCE，AD₁=$\sqrt{2}$，D₁E=1，AE=BE=$\sqrt{3}$，D₁O=$\frac{\sqrt{2}×1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，AO=$\sqrt{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EO=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出BO，從而得到AO⊥BO，進而得到AE⊥平面BOD₁，由此能證明AE⊥BD₁．
（2）點C到平面ABD₁的距離等于點E到平面ABD₁的距離，利用等體積求點C到平面ABD₁的距離．

解答 （1）證明：過點D₁作D₁O⊥AE，交AE于點O，連結(jié)BO，
∵點E為矩形ABCD邊CD的中點，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，
將△ADE沿AE折起到△AD₁E的位置，使得D₁-AE-B為直二面角，
∴D₁O⊥平面ABCE，AD₁=$\sqrt{2}$，D₁E=1，AE=BE=$\sqrt{3}$，
D₁O=$\frac{\sqrt{2}×1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，AO=$\sqrt{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
EO=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
cos∠BAO=$\frac{4+3-3}{2×2×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
BO=$\sqrt{4+\frac{4}{3}-2×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴AO²+BO²=AB²，∴AO⊥BO，
∴∠BOD₁是直二面角D₁-AE-B的平面角，
∴∠BOD₁=90°，
∵BO⊥AE，D₁O⊥AE，BO∩OD₁=O，
∴AE⊥平面BOD₁，∵BD₁?平面BOD₁，
∴AE⊥BD₁．
（2）解：∵CE∥AB，
∴點C到平面ABD₁的距離等于點E到平面ABD₁的距離，設(shè)為h，
則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$h，
∴h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴點C到平面ABD₁的距離等于$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查點C到平面ABD₁的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等體積法的合理運用．