已知函數(shù)f（x）=2mx3-3nx2+10（m＞0）有且僅有兩個不同的零點，則lg2m+lg2n的最小值為（　�。�
A、
1
7
B、
1
9
C、
1
11
D、
1
13
考點：函數(shù)零點的判定定理
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：由題意可得函數(shù)的極大值或極小值等于0，求得m、n的關(guān)系，再取對數(shù)得lgn=
1
3
+
2
3
lgm，即可將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值解得結(jié)論．
解答： 解：f′（x）=6mx2-6nx=6x（mx-n），
∴由f′（x）=0得x=0或x=
n
m
，
∵f（x）=2mx3-3nx2+10（m＞0）有且僅有兩個不同的零點，又f（0）=10，
∴f（
n
m
）=0，即2m•(
n
m
)3-3n•(
n
m
)2+10=0，整理得n3=10m2，
兩邊取對數(shù)得3lgn=1+2lgm，∴l(xiāng)gn=
1
3
+
2
3
lgm，
∴l(xiāng)g2m+lg2n=lg2m+（
1
3
+
2
3
lgm）2=
1
9
（13lg2m+4lgm+1）=
13
9
（lgm+
2
13
）2+
1
13
，
∴當lgm=-
2
13
時，lg2m+lg2n有最小值為
1
13
．
故選D．
點評：本題考查函數(shù)的零點的判斷及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值知識，考查學生的等價轉(zhuǎn)化能力及運算求解能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：lg2=a，lg3=b，試用a，b表示下列各式的值：
（1）lg6；    
（2）lg
2
9
；   
（3）log92．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-ax2+1．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（0，1）對稱，直接寫出a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，求a的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=4，an+1=an+k•3n+1（n∈N+，k為常數(shù)），a1，a2+6，a3成等差數(shù)列．
（1）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
n
an-n
，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；
（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=
n2
an-n
，證明：cn≤
4
9
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的圖象與y軸的交點為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為（x0，2）和（x0+2π，-2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及x0的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，π]上的最小值和最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，
①GH與EF平行；
②BD與MN為異面直線；
③GH與MN成60°角；
④DE=2MN．
以上四個命題中，正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（x+
π
6
），x∈R
（1）已知tanθ=-2，θ∈（
π
2
，π），求f（θ）的值；
（2）若α，β∈[0，
π
3
]，f（α）=2，f（β）=
8
5
，求f（2β+2α）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線tx-y-t+1=0與圓x2+y2=4交于P、Q兩點，求PQ的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某公司有男職員45名，女職員15名，按照分層抽樣的方法組建了一個4人的科研攻關(guān)小組．
（1）科研攻關(guān)小組中男、女職員的人數(shù)；
（2）經(jīng)過一個月的學習、討論，這個科研攻關(guān)組決定選出兩名職員做某項實驗，方法是先從小組里選出1名職員做實驗，該職員做完后，再從小組內(nèi)剩下的職員中選一名做實驗，求選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率．

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