Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+1．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱(chēng)，直接寫(xiě)出a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，求a的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用y=

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3

x³的對(duì)稱(chēng)中心，通過(guò)平移變換，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱(chēng)，直接寫(xiě)出a的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用a與0大小比較，分類(lèi)討論通過(guò)等號(hào)的符號(hào)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）利用f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為a的不等式，然后求解最值，即可求a的最大值．

解答： （共14分）
解：（Ⅰ）函數(shù)y=

1

3

x³的對(duì)稱(chēng)中心（0，0），平移變換后函數(shù)f（x）=

1

3

x³+1的對(duì)稱(chēng)中心（0，1），
∴a的值是0．…（2分）
（Ⅱ）f'（x）=x²-2ax．…（4分）
當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＜0得：0＜x＜2a；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）＜0得：2a＜x＜0．…（7分）
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2a）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（2a，0）．
（Ⅲ）因?yàn)?nbsp;f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，即

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3

x3-ax2≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立．
所以 a≤

1

3

x在區(qū)間[3，+∞）上恒成立．…（10分）
因?yàn)?nbsp;x≥3，
所以 

1

3

x≥1．…（11分）
所以 a≤1．…（13分）
所以 若f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，a的最大值為1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．