Question

17．在中俄兩國聯(lián)合軍事反恐演習中，為了準確分析形勢，軍方在底面上選擇相距$\sqrt{3}$km的C，D兩點，以測出對方兩目標A和B的距離，經(jīng)測量的：∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，試求出A，B之間的距離．

Answer 1

分析 利用△ACD的邊角關(guān)系得出AC，在△BCD中，由正弦定理即可得出BC，在△ACB中利用余弦定理即可得出AB．

解答 解：在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°．
∴AC=CD=$\sqrt{3}$．
 在△BDC中，∠CBD=180°-（45°+75°）=60°．
由正弦定理，得BC=$\frac{\sqrt{3}sin75°}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
由余弦定理，得AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠BCA
=（$\sqrt{3}$）²+（$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$）²-2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$×cos75°=5．
∴AB=$\sqrt{5}$．
∴兩目標A、B之間的距離為$\sqrt{5}$km．

點評 本題主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的綜合運用．熟練掌握正弦定理和余弦定理是解題的關(guān)鍵．