Question

設(shè)向量

a

=(

3

sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)，x∈(0，

π

2

)．
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求x的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=（

a

+

b

）•

b

，求f（x）的最大值及取得最大值時x的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量平行的條件建立關(guān)于x的等式，結(jié)合x∈（0，

π

2

）化簡得

3

sinx=cosx，從而得出tanx=

3

3

，可得x的值；
（II）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合題意得到f（x）=cosx（

3

sinx+cosx）+2sin²x，利用二倍角的三角函數(shù)公式與輔助角公式化簡整理，可得f（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

2

．最后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合x∈（0，

π

2

）加以計算，可得答案．

解答：解：（I）∵

a

=(

3

sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)，且

a

∥

b

，
∴

3

sinx•sinx=cosx•sinx，
∵x∈（0，

π

2

），可得sinx＞0，∴等式兩邊約去sinx，得

3

sinx=cosx，
因此tanx=

sinx

cosx

=

3

3

，可得x=

π

6

；
（II）∵

a

+

b

=（

3

sinx+cosx，2sinx），

b

=(cosx，sinx)，
∴f（x）=（

a

+

b

）•

b

=cosx（

3

sinx+cosx）+2sin²x
=

3

2

sin2x+1+

1

2

（1-cos2x）=sin（2x-

π

6

）+

3

2

．
∵x∈（0，

π

2

），可得2x-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），
∴當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

即x=

π

6

時，sin（2x-

π

6

）有最大值為1，
由此可得：f（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

2

的最大值為1+

3

2

=

5

2

，相應(yīng)的x值為

π

6

．

點(diǎn)評：本題著重考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算、三角恒等變換公式和利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求函數(shù)的最值等知識，屬于中檔題．