Question

2．設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象過點（0，1）和（1，4），且對于任意x∈R，不等式f（x）≥4x恒成立．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=log_b[f（x）+4]的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)結果的點，以及函數(shù)的對稱軸，列出方程組，求出二次函數(shù)的系數(shù)，即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函數(shù)的真數(shù)的范圍，然后求解函數(shù)g（x）=log_b[f（x）+4]的值域．

解答 解：（I）依題意二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象過點（0，1）和（1，4），且對于任意x∈R，不等式f（x）≥4x恒成立．
得$\left\{\begin{array}{l}f（0）=c=1\\ f（1）=a+b+c=4\\（b-4）^{2}-4ac≤0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\\ c=1\end{array}\right.$，∴f（x）=x²+2x+1…（6分）
（II）．由f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，∴f（x）+4≥4…（8分）
∴g（x）=log₂[（x+1）²+4]≥log₂4=2．
∴g（x的）值域為：[2，+∞）…（12分）

點評 本題考查二次函數(shù)的性質的應用，函數(shù)的解析式的求法，考查計算能力．