Question

10．某大學畢業(yè)生響應國家“自主創(chuàng)業(yè)”的號召，今年年初組織一些同學自籌資金196萬元購進一臺設備，并立即投入生產自行設計的產品，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用24萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加8萬元，該設備使用后，每年的總收入為100萬元，設從今年起使用n年后該設備的盈利額為f（n）萬元．
（Ⅰ）寫出f（n）的表達式；
（Ⅱ）求從第幾年開始，該設備開始盈利；
（Ⅲ）使用若干年后，對該設備的處理方案有兩種：方案一：年平均盈利額達到最大值時，以52萬元價格處理該設備；方案二：當盈利額達到最大值時，以16萬元價格處理該設備．問用哪種方案處理較為合算？請說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用等差數列的前n項和公式即可得出；
（II）利用一元二次不等式的解法即可得出；
（III）利用基本不等式的性質、二次函數的單調性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依題意，得$f（n）=100n-196-[24n+\frac{n（n-1）}{2}8]=-4{n^2}+80n-196（n∈{N^*}）$．
（Ⅱ）由f（n）＞0得：-4n²+80n-196＞0即n²-20n+49＜0，解得$10-\sqrt{51}＜n＜10+\sqrt{51}$，由n∈N^*知，3≤n≤17，即從第三年開始盈利．
（Ⅲ）方案①：年平均盈利為$\frac{f（n）}{n}$，則$\frac{f（n）}{n}=-4（n+\frac{49}{n}）+80≤-4•2\sqrt{n•\frac{49}{n}}+80=24$，當且僅當$n=\frac{49}{n}$，即n=7時，年平均利潤最大，
共盈利24×7+52=220萬元．
方案②：f（n）=-4（n-10）²+204，當n=10時，取得最大值204，即經過10年盈利總額最大，共計盈利204+16=220萬元．
兩種方案獲利相等，但由于方案二時間長，所以采用方案一合算．

點評 本題考查了等差數列的前n項和公式、一元二次不等式的解法、基本不等式的性質、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．